Limites

“Se vi um pouco mais longe, foi porque estava de pé nos ombros de gigantes. Isaac Newton em carta escrita para o cientista Robert Hooke no ano de 1676.

Os antigos gregos meditavam sobre um problema filosoficamente interessante:

“Um arqueiro mira em um alvo e atira a sua flecha. Para acertar o alvo a flecha percorre a metade da distância entre o alvo e o arqueiro e, sucessivamente, precisará percorrer uma nova metade e ao chegar nela terá que percorrer outra metade e assim por diante, infinitamente…”

A pergunta é: Se existem infinitas metades entre o arqueiro e o alvo, como a flecha poderia chegar lá?

Esta questão, formulada cerca de 450 A.C. pelo grego Zenon de Eléia é conhecida como um dos “Paradoxos de Zenon” e conhecida em filosofia como “redução ao absurdo”. Mas há também o “Paradoxo de Aquiles”, que persegue uma tartaruga que saiu a sua frente na corrida, mas jamais poderá alcança-la, uma vez que sempre que ele chega onde a tartaruga estava ela já teria se movido e estaria a frente…

Essas questões não fazem muito sentido para a nossa sociedade atual porque o início do Renascimento trouxe como consequência até nós o pensamento pragmático e objetivo. Se a flecha atinge o alvo porque se preocupar com isso? Se a mecânica quântica funciona bem porque se preocupar com o “gato de Schrodinger” (aquele que aparece e desaparece ao mesmo tempo…).

Afinal, qualquer um sabe pela experiência do cotidiano que a flecha sempre atingirá o alvo se foi disparada na direção certa e com impulso suficiente. Mas por trás desta simples questão se esconde uma verdade mais fundamental e mostra a força da filosofia para questionar as hipóteses assumidas e quebrar paradigmas que impedem o avanço do verdadeiro conhecimento. Essa simples questão só foi matematicamente resolvida em 1870 (!!) com a conceituação de Limites.

Curiosamente, hoje aprendemos Limites antes de Derivadas, mas “assim caminha a humanidade”, as invenções e descobertas tem quase sempre uma motivação prática (o chamado utilitarismo), que no caso de Newton, foi a proposição de um método de cálculo usando pequenos incrementos obtendo derivadas parciais e com isso pôde equacionar as ideias de Galileu sobre o movimento e a força e formular com sucesso suas famosas 3 leis.

Quando Newton, que era inglês, apresentou em “O método de Fluxões e Séries Infinitas” o seu novo conceito de “fluxões” (atualmente dizemos infinitésimos) desenvolvido cerca de 1671 (seu livro só foi apresentado ao público muito mais tarde) e, igualmente, em período similar, o matemático alemão Leibniz publicando seus trabalhos em 1684, surgiu uma forte evidência que o universo que nos cerca é preciso e matemático, que é regido por leis físicas, e isto naturalmente incomodou alguns místicos e filósofos da época, porque para alguns a nova e pretensa “ciência” iniciava a desmistificar os herméticos princípios do sobrenatural pelos quais se explicavam todas as coisas desde a idade média.

Em 1734 o bispo de Cloyne, George Berkeley, filósofo anglo-irlandês, publicou suas críticas ao trabalho de Newton no panfleto “O analista: ou um discurso endereçado a um matemático infiel”, porque encontrou uma falha lógica na descrição de seus “fluxões”, que Leibniz também não foi capaz de tratar adequadamente, e por certo assim reagiu porque este rápido florescer da ciência também passava a exprimir o pensamento de um Deus racionalista, assemelhando-se assim o homem a Ele apoiando então as ideias Iluministas, e a descrever a Deus como um criador que se afastou de sua criação deixando regras e leis para que ela seguisse os seus próprios desígnios.
Berkeley, como filósofo, foi sagaz em encontrar essa brecha porque efetivamente havia algo “estranho” nas formulações lógicas de Newton e Leibniz…

Vejamos (vide figura abaixo): Temos uma grandeza “B” que poderia ser a distância entre o atirador e o alvo, e temos um infinitésimo “i” que falta para atingir o alvo depois que ele percorre quase toda a distância. Note que para acertar o alvo, aparentemente, esse “i” vai se tornando com o tempo cada vez menor até que se transforme em ZERO. Assim, Newton o chamou de “fluxão”, porque dá a entender que ele vai se movimentando e transformando como se fosse um fluxo.

Berkeley argumentou que “i”, como grandeza física real, não podia se transformar em zero e que a teoria de Newton, na verdade, produzia fantasmas…. não podia, portanto ,ser aplicada e levada a sério.
Vejamos o argumento, imagine uma escala horizontal que parte do zero.

Seja “x” uma variável de distância que varia entre zero, na posição do atirador, e “B”, a posição do alvo.
vetor

Em determinado momento após partir, a flecha estará em uma alguma posição “x” que vai avançando até assumir o valor “B” ao passar um tempo T. Assim “x” é uma função do tempo: x = f(t)

A distância entre a flecha e o alvo será (B-x) onde x varia com o tempo e avança até B e podemos imaginar que esse intervalo vai diminuindo até fazer “x“ muito próximo do alvo e então dizemos que “x” tende a “B”:   x -> B

Em certo ponto, ao se deslocar para frente em um infinitésimo “i” que pode também ser representado por “dx” teremos:

x + dx = B e a flecha alcançará o alvo

Para que a flecha atinja o alvo é necessário que “x” avance até “B”,
ou x = B. Portanto, B + dx = B

,o que implica em dx = 0 mas sempre haverá um “i”a percorrer…. se se tornar zero ao final como se poderá usa-lo nos cálculos? Como dividir dx/dy ?

Está ai o “Fantasma de Newton” porque o intervalo infinitesimal proposto na verdade deveria ser Zero e esta proposição se torna um grande problema quando se dividem infinitésimos, para o cálculo da velocidade da flecha por exemplo, porque não se pode dividir zero por zero….

Mas se Berkeley está com a razão porque a flecha atinge o alvo?

Em 1870 o matemático Weierstrass, utilizando os trabalhos do teólogo e matemático Bolzano apresentou o conceito de Limites que permite que essa questão seja resolvida. Curiosamente, o teólogo parece ter dado uma boa resposta ao seu colega Berkeley, como se fosse para mostrar que a Religião sempre pode assumir uma via de conciliação com a Ciência….

Limites2 Se uma variável “x” pode assumir valores delimitados por “A”, dentro deste intervalo até o limite, então nas proximidades deste limite, um ponto “B” qualquer, haverão distâncias que podem ser reduzidas tanto quanto se queira. O Limite da variável naquele ponto será o próprio ponto (B). E dizemos que lim x = B.

Parece óbvio, e é, porque Limites é uma definição, uma hipótese, e não um Teorema, mas dá elementos à matemática para tratar com problemas que usam infinitésimos.

Vamos imaginar uma função de duas variáves “x” e “y” tal que “y” seja função de “x” ou y = f(x)

Mas se marcarmos no eixo um ponto “A” qualquer, “x” sempre poderá assumir dentro do intervalo entre “A” e “B” um valor tal que (B-x) diminua tal que:

(1) (B-x) < A

Seja qual for “A” nas proximidades de “B” “x”, poderá estar dentro dele de modo que a equação (1) acima seja satisfeita, isto é, sempre existirá um “x” a percorrer…

(B-x) – A < 0     ou     A – (B-x) >0

Para que a flecha atinja o alvo é necessário que “x” avance até “B”, ou
x = B.

Portanto, A – (B-B) > 0 o que implica em A > 0 o que está coerente.

No novo raciocínio estabelece-se um ponto arbitrário “A” no eixo e no intervalo formado até o alvo existirão infinitos valores possíveis para x para chegar a ele. Está claro que não existe fluxo como intuiu Newton, mas sim um espaço contínuo onde “x” pode assumir qualquer valor em seu interior, com quantas casas decimais quisermos, e este espaço contínuo é finito e não depende do tempo. Desse modo, o tratamento matemático da definição de Limites também estabelece o conceito de continuidade da função.

No caso do cálculo da velocidade, se o movimento variar, podemos calcular ponto a ponto do percurso, bastando conhecer como “x” varia com o tempo “t”. Se x = f(t):

velocidade
Se, por exemplo: x = 2t então:

velocidade2

(ex: em metros/segundo). Esta definição de Limites é logicamente correta, e permite agora o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral, sem medo dos fantasmas… pois “i” não precisa mais assumir o valor zero.